Вправи: 265

265. Через середину D сторони AB трикутника ABC проведено

прямі, перпендикулярні до бісектрис кутів ABC і ВАС. Ці прямі перетинають сторони AC і BC у точках M і K відповідно. Доведіть, що AM = BK.

Доведення: Нехай дано ∆ABC,

т. D — середина AB, AO — бісектриса ∠A i BO — бісектриса ∠B. DM ⊥ AO, DK ⊥ BO. Доведемо, що BK = AM.

Розглянемо ∆ADM, AF — бісектриса,

AF — висота (AF ⊥ DM), тоді ∆ADM — рівнобедрений з основою DM. 3 цього випливає, що AD = AM.

Розглянемо ∆DBK. BN — бісектриса, BN – висота (BN ⊥ DK), тоді

∆DBK — рівнобедрений з основою DK. З цього випливає, що BD =

= BK. Оскільки AD = BD (т. D — середина АВ) і AD = AM, BD = BK, тоді BK = AM.