Вправи
Вправи: 264
Готова відповідь до завдання 264 з Геометрія 7 клас Мерзляк.
Геометрія, 7 клас · Вправи
Текстова відповідь
264. На сторонах AB і BC трикутника ABC позначили відповідно
точки D і E так, що ∠EAC = ∠DCA. Відрізки AE і CD перетинаються в точці F, DF = EF. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.
Доведення: Нехай дано ∆ABC, ∠EAC = ∠DCA,
AE і CD перетинаються в т. F, DF = FE.
Доведемо, що ∆ABC — рівнобедрений.
Розглянемо ∆FAC. Так як ∠FAC = ∠FCA, то
∆FAC — рівнобедрений, тоді AF = FC.
Розглянемо ∆ADC і ∆СЕА.
1) ∠EAC = ∠DCA (за умовою).
2) AC — спільна.
3) AE = AF + FE, CD = CF + FD, так як AF = CF (∆FAC — рівнобедрений),
EF = FD (за умовою), тоді AE = CD.
Отже, ∆ADC = ∆CEA за І ознакою рівності трикутників. З цього випливає, що ∠DAC = ∠ECA.
Розглянемо ∆АВС. Оскільки ∠BAC = ∠BCA, то ∆ABC — рівнобедрений.