Вправи: 268

268. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, ∠A = 67,5°, ∠B = 22,5°, CK — бісектриса трикутника ABC, CM — бісектриса трикутника BCK (рис. 188). Доведіть, що точка M — середина відрізка AB.

Доведення: ∠ACK = ∠BCK = 12 ∠C = 90°: 2 = 45° (CK –

бісектриса ∆ABC).

∠BCM = ∠MCK = 12 ∠BCX = 45° : 2 = 22,5° (CM — бісектриса ∆АВСK).

Розглянемо ∆BCM. ∠CBM = ∠BCM = 22,5°, тоді ∆BCM — рівнобедрений, з цього випливає, що BM = CM.

Розглянемо ∆MAC.

∠MCA = ∠MCK + ∠KCA, ∠MCA = 22,5° + 45° = 67,5° = ∠MAC, тоді

∆MCA — рівнобедрений, з цього випливає, що CM = MA.

Так як BM = CM, CM = MA, то BM = MA, т. M — середина АВ.