Вправи: 270

270. У трикутнику ABC відомо, що AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 6 см. На стороні BC позначено точку M таку, що CM = 3 см. Пряма, яка проходить через точку M перпендикулярно до бісектриси кута ACB, перетинає відрізок AC у точці К, а пряма, яка проходить через точку K перпендикулярно до бісектриси кута ВАС, перетинає пряму AB у точці D. Знайдіть відрізок BD.

Розв’язаннях Нехай дано ∆АВС, AB = 3 см, BC = 4 см, AC =

= 6 см, CM = 3 см.

AN — бісектриса ∠A, CP — бісектриса ∠C,

MK ⊥ CP, KD ⊥ AN.

Розглянемо ∆KMC.

CP — бісектриса і висота, отже,

∆KMC — рівнобедрений з основою MK, тоді CM = CK = 3 см.

Розглянемо ∆ADK.

AN — бісектриса і висота, отже, ∆ADK — рівнобедрений з основою DK, тоді AK = AD = 6 – 3 = 3 см.

Оскільки за умовою AB = 3 см і AD = 3 см, то точки B i D співпадають.