Відповіді ГЕОМЕТРІЯ: 7.15

7.15 У правильному трикутнику АВС АМ – медіана, АР – перпендикуляр до площини трикутника, АВ = 2 см, АР = 23 см.

1) Знайдіть відстань від точки Р до вершин трикутника. 2) Доведіть, що РМ⊥ВС. 3) Знайдіть довжину відрізка РМ.

∆АВС, АВ = ВС = АС = 2 см;

АР – перпендикуляр;

АР = 23 см;

АМ – медіана ∆АВС;

1) СР – ? РВ – ?

∆АРС = ∆АВР ⇒ РС = РВ;

З ∆АРС: РС = АР2+АС2 = 12+4 = 4 (см);

РВ = 4 см;

2) Довести: РМ⊥ВС; АР – перпендикуляр; РМ – похила;

АМ – проекція; АМ – медіана, а значить і висота, тобто АМ⊥ВС;

Якщо АМ⊥ВС, то РМ⊥ВС (за ТТП);

3) РМ – ?

АМ² = АС² – СМ² = 4 – 1 = 3;

РМ² = АР² + АМ² = 12 + 3 = 15;

РМ = 15 см.