Відповіді до вправ: 9.62

9.62 Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину його найменшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр, і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 13 см до прямої, що містить протилежну цьому куту сторону. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.

АВ = 4 см, ВС = 13 см, АС = 15 см, FC⊥ (ABC),

FH⊥AB, FH = 13 см.

FC – ?

Розглянемо ∆АВС. Знайдемо найбільший кут

cos∠B = АВ2+ ВС2-АС22АВ • ВС = 16+169-2252 • 4 • 13 = –408 • 13 = –513. ∠В тупий.

З вершини С опустимо висоту на АВ. Основа висоти буде лежати за межами ∆АВС.

Знайдемо НС методом площ:

S∆_АВС = p• (p-AB)(p-BC)(p-AC).

p = 15+13+42 = 16.

S∆_АВС = 161 • 3 • 12 = 83 (см²).

S∆_АВС = 12СН • АВ.

12 • СН • 43.

СН = 43 (см).

З ∆HFC (∠C = 90°) FC = FH2- HC2.

FC = 169-48 = 121 = 11 (см).