Відповіді до вправ: 11.69

11.69 Проекцією точки S на площину многокутника є точка О, що лежить усередині многокутника. Доведіть, що коли точка S рівно–віддалена від усіх прямих, що містять сторони многокутника, то точка O – центр кола, вписаного у многокутник.

Довести: S рівновіддалена від сторін многокутника.

За умовою О – центр вписаного кола. SK⊥AB, SP⊥СD, за теор. про три перпенд. ОК⊥АВ і ОР⊥СD.

ОК і ОР – радіуси впис. кола, ОК = ОР. Розглянемо ∆SOK і ∆SOР

У них SО – спільна, ОР = ОК як радіуси ∆SOK = ∆SOР рівні за 2 катетами SK = SP, тобто відстані від S до сторін однакові.