§ 42: 42.8

42.8 Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

1) y’ = 3x² – 4x + 1; y’’ = 6x – 4.

y’’ ≥ 0, якщо 6х – 4 ≥ 0; 6х ≥ 4; х ≥ 23; y’’ ≤ 0, якщо 6х – 4 ≤ 0;

6х ≤ 4; х ≤ 23. Функція у опукла вгору на (–∞;23], опукла вниз на [23; +∞), x = 23 – точка перегину.

2) у’ = 4х³ – 18х² + 24х – 3; y’’ = 12х² – 36х + 24.

у’’ = 0, якщо 12х² – 36х + 24 = 0;

x² – 3х + 2 = 0; x₁ = 2; x₂ = 1.

у’’ ≥ 0 на (–∞; 1] і [2; +∞); у’’ ≤ 0 на [1; 2].

Отже, функція f(x) опукла вгору на [1; 2]; опукла вниз на (–∞; 1] і [2; +∞); х = 1 і х = 2 – точки перегину.