§ 42: 42.11

42.11 Доведіть, що функція f (x) = x⁴ – 4x³ + 12x² – 11x – 7 є опуклою вниз на R.

f’(x) = 4x³ – 12x² + 24x – 11;

f’’(x) = 12x² – 24x + 24 = 12(x² – 2x + 2).

Знайдемо значення x, при яких f’’ = 0: x² – 2x + 2 = 0;

D = b² – 4aс = 2² – 4 • 2 • 1 = 4 – 8 < 0. Оскільки коефіцієнт при x² додатний, то у" > 0 на R, тому функція f(x) є опуклою вниз на R.