§ 42: 42.13 (1)

42.13 Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

1) y’ = x'1+ x2- x(1+ x2)'(1+ x2)2 = 1+ x2- 2x2(1+ x2)2 = 1- x2(1+ x2)2;

y’’ = -2x(1+ x2)2- 1- x2 • 2x1+ x2 • 2x(1+ x2)4 = -2x(1+ x2)2- 1- x2 • 1+ x2 • 4x(1+ x2)4 = -2x(1+ x2)2(1+ x2+ 2-2x2)(1+ x2)4 = -2x1+ x3(3- x2)(1+ x2)4;

y’’ = 0, якщо х = 0 і х = ± 3.

y’’ > 0 на [–3; 0] i [3; +∞);

y’’ < 0 на (–∞; –3] i [0; 3].

Отже, функція опукла вниз на [–3; 0] i [3; +∞), опукла вгору на

(–∞; –3] i [0; 3].

Точки х = –3, х = 0 і х = 3 – точки перегину.

2) y’ = x'(x-1)2- x((x-1)2)'(x- 1)4 = (x-1)2- 2x(x-1)(x- 1)4 = x-1(x-1-2x)(x- 1)4 = x-1(-x -1)(x- 1)4 = -x -1(x- 1)3;

y’’= -x(x- 1)3- x+ 1 •3(x- 1)2(x- 1)6= (x-1)2(-x+1+3x+3)(x- 1)6 = (x-1)2(2x+4)(x- 1)6 = 2x+4(x - 1)4.

у’’ = 0, якщо 2х = –4; х = –2.

у’’ не існує, якщо x – 1 = 0; х = 1.

у’’ > 0 на [–2; 1) і (1; +∞); у’’ < 0 на (–∞; –2].

Отже, функція у опукла вниз на [–2; 1) і (1; +∞), опукла вгору на

(–∞; –2]; х = –2 – точка перегину.