§ 42: 42.14 (1)

42.14 Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:

1) y’ = 1- x2'1+ x2- (1- x2)(1+ x2)'(1+ x2)2 = -2x1+ x2- 2x(1- x2)(1+ x2)2 = -2x-2x3- 2x+2x'(1+ x2)2 = -4x(1+ x2)2;

y’’ = -4(1+ x2)2+ 4x • 21+ x2 • 2x(1+ x2)4 = -41+ x2(-1- x2+ 4x2)(1+ x2)4 = 41+ x2(3x2- 1)(1+ x2)4.

y’’ = 0, якщо 3х² – 1 = 0; 3х² = 1; х² = 13; х = ± 33.

y’’ ≤ 0 на [–33; 33], y’’ ≥ 0 на (–∞; –33 ) і [33; +∞). Отже, функція у опукла вгору на [–33; 33], опукла вниз на (–∞; –33 ) і [33; +∞);

х = –33, х = 33 – точки перегину.

2) y’ = x'(x+1)2- x • 2(x+1)(x+1)4 = x2+ 2x+1-2x2- 2x(x+1)4 = 1-x2(x+1)4;

y’’ = -2x(x+1)4- 1- x2 • 4(x+1)3(x+1)8 = 2(x+1)3(-x2- x-2+2x2)(x+1)8 = 2(x+1)3(x2- x-2)(x+1)8 = 2(x2- x-2)(x+1)5.

у’’ = 0 при х = 2, у’’ не існує при х = –1.

у’’ > 0 на [2; +∞); у’’ ≤ 0 на (–∞; –1) і (–1; 2]. Отже, функція у опукла вниз на [2; +∞), опукла вгору на (–∞; –1) і (–1; 2]; х = 2 – точка перегину.