§ 42: 42.15

42.15 Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції y = x² + 4sinx.

y’ = 2x + 4cosx; y’’ = 2 – 4sinx.

y’’ = 0; 2 – 4sinx = 0; 4sinx = 2;

sinx = 12; x = (–1)ⁿ π6 + πn, n ∈ Z;

y’’ ≤ 0, 2 – 4 sin x ≤ 0;

sinx ≥ 12; x ∈ [π6 + 2πn; 5π6 + 2πn], n ∈ Z

y’’ > 0, sinx ≤ 12, x ∈ [–7π6 + 2πn; π6 + 2πn], n ∈ Z.

Отже, функція у опукла вгору на [π6 + 2πn; 5π6 + 2πn], n ∈ Z; функція у опукла вниз на [–7π6 + 2πn; π6 + 2πn], n ∈ Z; точками перегину є точки виду х = (–1)ⁿ π6 + πn, n ∈ Z.