§ 42: 42.16

42.16 Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції y = x² – 4cosx.

y’ = 2x + 4sinx; y’’ = 2 + 4cosx.

y’’ = 0; 2 + 4cosx = 0; cosx = –12;

y’’ x = ± (π – π3) + 2πn, n ∈ Z; x = ± 2π3 + 2πn,

n ∈ Z.

y’’ ≥ 0, cosx ≥ –12; x ∈ [–2π3 + 2πn; 2π3 + 2πn],

n ∈ Z.

y’’ ≤ 0, cosx ≤ –12; x ∈ [2π3 + 2πn; 4π3 + 2πn],

n ∈ Z. Функція у опукла вгору на [2π3 + 2πn; 4π3 + 2πn], n ∈ Z; опукла вниз на [–2π3 + 2πn; 2π3 + 2πn], n ∈ Z; точками перегину є точки виду x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z.