§ 41: 41.19

41.19 Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см. Якою

має бути довжина основи трикутника, щоб його площа набувала найбільшого можливого значення?

Позначимо бічну сторону трикутника х, тоді основа дорівнює 48 – 2х. Площу трикутника можна обчислити за формулою Герона:

S∆ = 2424-AB4-BC(24-AC) = 2424-x24-x(24-48+2x) = (24 – x)24(2x-24) = (24x – x)48x-576.

Розглянемо функцію S(x) = (24 – x)48x-576 на відрізку [0; 24] і знайдемо її найбільше значення на цьому відрізку.

S’(x) = (24 – x)’ • 48x-576 = (24 – x) • 48248x-576 = –48x-576 + 1152-48x248x-576 = –48x-576 + 576-24x48x-576 = -48-576+ 576-24x48x-576 = -72x+115248x-576;

S’(x) = 0, якщо –72х + 1152 = 0; х = 16.

Функція на відрізку [0; 24] має одну критичну точку х = 16. Найбільше і найменше значення знаходяться серед чисел S(0), S(24) і S(16).

S(0) = (24 – 0) • 48 •0-576 – не існує;

S(24) = (24 – 24) • 48 •24-576 = 0;

S(16) = (24 – 16) • 48 •16-576 = 8 • 768-576 = 8 • 192 = 83 = 643;

maxS(x) = S(16) = 643.

^{[0; 24]}

Отже, найбільшу площу трикутник має, якщо його бічна сторона дорівнює 16. Тоді основа дорівнює 48 – 2 • 16 = 49 – 32 = 16 (см).

Відповідь: 16 см.