§ 41: 41.16

41.16 У півколо радіуса 6 см вписано прямокутник найбільшого

периметра. Знайдіть сторони прямокутника.

Прямокутник ABCD вписаний у півколо радіуса 6 см. Нехай AB = х см, тоді з ∆ABO за теоремою Піфагора: OB² = AB² + AO², звідки AO = OB2-AB2 = 62- x2 = 36- x2; AD = 236- x2.

Периметр прямокутника ABCD дорівнює 2(AB + AD) = 2x + 436- x2.

З умови випливає, що 0 < x < R.

Розглянемо функцію P(x) = 2x + 436- x2, визначену на проміжку

[0; 6], неперервну на цьому проміжку, і знайдемо її найбільше значення.

Р’(x) = 2 +236- x2 • (–2x) = 236- x2- 4х36- x2;

Р’(x) = 0, якщо 236- х2 – 4х = 0; 36- х2 = 2х; 36 – x² = 4х²; 5x² = 36; х² = 365; x = 65; x = 655. (x > 0). Отже, функція P(x) має на проміжку [0; 6] одну критичну точку x = 655.

P(0) = 2 • 0 + 436- 02 = 436 = 4 • 6 = 24; P(6) = 2 • 6 + 436- 62 = 12;

P(655) = 2 • 655 + 436- 365= 1255 + 41445 = 1255 + 4 • 1255 = 125; maxP(x) = P(655) = 125.

^{[0; 6]}

Таким чином, найбільший периметр прямокутник має, якщо

АВ = 655 см, AD = 2 • 655 = 1255 см.

Відповідь: 655 см, 1255 см.