§ 41: 41.13

41.13 У трикутник ABC вписано прямокутник так, що дві його

вершини лежать на стороні AC, а дві інші – на сторонах AB і BC. Знайдіть найбільше значення площі такого прямокутника, якщо AC = 12 см, BD = 10 см, де BD – висота трикутника ABC.

Нехай КМ = х см, а КР = у см.

Оскільки КМ ∥ АС, то ∆КВМ ~ ∆АВС.

Тоді KMAC = BNBD : x12 = 10-y10;

10 – y = 10x12; y = 10 – 5x6.

Площа прямокутника: S(x) = х • у = (10 – 5x6), де х ∈ [0; 12].

Знайдемо найбільше значення функції S(x) на цьому проміжку.

S(x) = 60x-5x26; S’(x) = 16(60 – 10x). S’(0) = 0 при x = 6. Очевидно, що при х = 0 та х – 12 площа прямокутника дорівнює 0. Оскільки критична точка одна, то в ній і є екстремум:

S(6) = 60 • 6-5 • 626 = 60 – 30 = 30 (см²)

Відповідь: 30 см².