§ 41: 41.14

41.14 У прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см і гострим кутом 30° вписано прямокутник, дві вершини якого лежать на гіпотенузі, а дві інші – на катетах. Якими мають бути сторони прямокутника, щоб його площа була найбільшою?

У ∆АВС (∠С = 90°) вписано прямокутник DPKN.

За умовою ∠В = 30°, АВ = 16 см.

Нехай DP = KN = x см.

Тоді з ∆BNK: BK = KNtg30° = x3 (см).

З ∆APD, де ∠A = 60°, AP = PDtg60° = x3 (см).

Тоді PK = 16 – (AP + BK) = 16 – (x3 + x3) = 16 – 4x3 = 163- 4x3.

Площа прямокутника DPKN дорівнює KN • PK = x • 163- 4x3 = 163- 4x23, де 0 < x < 83, (83 – це довжина висоти СН, проведеної з вершини прямого кута на гіпотенузу, її можна обчислити з ∆АСН: СН = АС • tg60°, AC = 12AB = 8 (см) як катете проти кута 30°).

Розглянемо функцію S(x) = 163x-4x23, неперервну на [0; 83], і знайдемо її найбільше значення на цьому проміжку.

S’(x) = 163- 8x3; S’(x) = 0, якщо 163 – 8х = 0; 8х = 163;

х = 23. Отже, функція S(x) має одну критичну точку х = 23.

S(0) = 163 • 0-4 • 04 = 0;

S(83) = 163 • 83-4 • (83)23 = 384-7683 < 0;

S(23) = 163 • 23-4 • (23)23 = 96-483 = 483 = 4833 = 163.

max S(x) = S(23) = 163.

_{[0; 8}3_]

Отже, одна сторона прямокутника дорівнює 23 см, тоді друга

16 – 4 • 233 = 8 (см).

Відповідь: 8 см і 23 см.