§ 41: 41.15

41.15 У півколо радіуса 20 см вписано прямокутник найбільшої

площі. Знайдіть сторони прямокутника.

Прямокутник ABCD вписаний у півколо радіуса 20 см. Нехай AB = х см, тоді з ∆ABO за теоремою Піфагора: OB² = AB² + AO², звідки AO = OB2-AB2 = 202- x2 = 400- x2; AD = 2400- x2.

Площа прямокутника ABCD дорівнює 2x400- x2.

Розглянемо функцію S(x) = 2x400- x2, визначену на проміжку

[0; 20], і знайдемо її найбільше значення на цьому проміжку.

S’(x) = 2400- x2 + 2x • 12400- x2 • (–2x) = 2400- x2 – 2x2400- x2 = 2400 • x2- 2x2400- x2 = 800-4x2400- x2.

S’(x) = 0, якщо 800-4x2400- x2 = 0; 4x² = 800; x² = 200; x = 102(x > 0). Отже, функція S(x) має на проміжку [0; 20] одну критичну точку

х = 102.

S(0) = 0; S(20) = 0;

S(102) = 2 • 102400-(102)2 = 2200 • 200 = 400;

max S(f) = S (102) = 400.

^{[0; 20]}

Таким чином, найбільшу площу прямокутник має, якщо AB= 102 см, AD = 2 • 102 = 202 см.

Відповідь: 102 см, 202 см.