§ 41: 41.17

41.17 Дві вершини прямокутника належать графіку функції y = 12 – x², D(y) = [–23; 23], а дві інші – осі абсцис. Яку найбільшу площу може мати такий прямокутник?

AD = |2x|, AB = |y(x)| = |12 – x²|,

[0; 23]. S(x) = 2|x| • |12 – x²|.

На проміжку [0; 23]. S(x) = 2x(12 – x²).

Знайдемо найбільше значення функції S(x)

на проміжку [0; 23]. S’(x) = 24 – 6х².

Знайдемо критичні точки: S’(x) = 0;

26 – 6х² = 0; 6х² = 24;

x² = 4; х = 2 (х > 0). Отже, функція S(x) має одну критичну точку, вона входить до проміжку [0; 23].

S(0) – 2 • 0 • (12 – 0²) = 0; S(23) = 2 • 23 (12 – 23)² = 0;

S(2) = 2 • 2 • (12 – 2²) = 4 • (12 – 4) = 4 • 8 = 32;

max S(x) = S(2) = 32.

_{[0; 2}3_]

Таким чином, найбільша площа прямокутника дорівнює 32.

Відповідь: 32.