§ 41: 41.20

41.20 У трапеції менша основа й бічні сторони дорівнюють a.

Якою має бути більша основа трапеції, щоб площа трапеції була

найбільшою?

Трапеція ABCD рівнобічна, АВ = ВС = СD = a. Проведемо CF ⊥ AD – висоту трапеції. S_трап. = BC+AD2 • CF.

Нехай DF = x, тоді за властивістю рівнобічної трапеції AF = a + x.

З ∆CDF за теоремою Піфагора

CD² = CF² + DF², звідки CF = a2- x2.

S_трап. = a+a+2x2 • a2- x2 = (a + x)a2- x2.

Розглянемо функцію S(x) = (a + x)a2- x2, неперервну на проміжку [0; a], і знайдемо найбільше значення функції S(x) на цьому проміжку. S’(x) = a2- x2 = (a – x) • -2x2a2- x2 = a2- x2- x(a+x)a2- x2 = a+x(a-2x)a2- x2.

S’(x) = 0, якщо а + х = 0, х = –а,

а – 2х = 0; х = а2.

Перша рівність неможлива, бо за умовою х > 0 і a > 0. Точка х = а2 –

єдина критична точка функції S(x) на проміжку [0; a].

S(0) = (a + 0)a2- 02 = a • a2 = a²; S(a) = (a + a)a2- a2 = 0;

S(a2) = (a + a2)a2- a24 = 3a2 • 3a24 = 3a2 • a32 = 33a24;

maxS(x) = S(x2) = 33a24. Отже, х = a2, тоді AD = a + 2x = 2a.

^{[0; a]}

Відповідь: 2а.