§ 41: 41.21

41.21 У рівнобедрений трикутник вписано коло радіуса r. Яким

має бути кут при основі трикутника, щоб його площа була най–

меншою?

Нехай ∆АВС – рівнобедрений (АВ = ВС), О – центр вписаного кола радіуса r; BD ⊥ AC – висота трикутника. Нехай ∠С = α, тоді ∠OCD = α2. З ∆ODC: DC = ODtgα2 = rtgα2.

З ∆BDC: BD = DC tg α = rtgαtgα2. S∆_ABC = r2tgαtg2α2.

Розглянемо функцію S(α) = r2tg αtg2α2 на проміжку (0; 90°)

і знайдемо її найменше значення на цьому проміжку.

S’(α) = r2• 1cos2α • tg2α2 - r2tgα • 2tgα2 • 12 • 1cos2α2tg4α2 = r2tg2α2cos2α - r2tgα tgα2cos2α2tg4α2 = r2tgα2tg4α2 • (tgα2cos2α – tg αcos2α2) = r2tg3α2 • tgα2cos2α2 - tg α • cos2αcos2α cos2α2 = r2tg3α2 cos2α cos2α α2 • (sinα2cosα2 – sinα • cosα) = r2tg3α2 cos2αcos2α α2 • (12sinα – sinαcosα) = r2tg3α2 cos2αcos2α α2 • (12 – cosα).

На проміжку (0; 90°), S’(α) = 0, якщо 12 – cosα = 0; cosα = 12;

α = π3.

Відповідь: π3.