§ 41: 41.18

41.18 Дві вершини прямокутника належать графіку функції y = 0,5x², D(y) = [–32; 32], а дві інші – прямій y = 9. Яку найбільшу площу може мати такий прямокутник?

AB = 2|x|, AD = 9 – y(x) = 9 – 0,5x². S_ABCD = 2|x|(9 – 0,5x²).

Розглянемо функцію S(x) = 2x(9 – 0,5x²), яка визначена на проміжку [0; 32], знайдемо її найбільше значення на цьому проміжку.

S(x) = 18х – х³; f’(x) = 18 – 3x². S’ = 0,

якщо 18 – 3х² = 0; 3х² = 18; х² = 6;

x = 6(x > 0). x = 6 – критична точка функції S(x) на проміжку [0; 32].

S(0) = 18 • 0 – 0³ = 0;

S(32) = 18 • 32 – (32)³ = 542 – 542 = 0;

S(6) = 186 – (6)³ = 186 – 66 = 126;

max S(x) = S(6) = 126.

_{[0; 3}2_]

Отже, найбільша площа прямокутника дорівнює 126.

Відповідь: 126.