§ 41: 41.25

41.25 На координатній площині розміщено прямокутний трикутник ABC (∠ABC = 90°). Вершина A має координати (–2; 0), вершина B належить відрізку [2; 3] осі абсцис, а вершина C – параболі y = x² – 4x + 1. Якими мають бути координати точки C, щоб площа трикутника ABC була найбільшою?

Нехай координати точки В(х; 0),

тоді С(х; у), де у = х² – 4х + 1.

АВ = (х+2)2+ (0-0)2 = (х+2)2 = х + 2;

(х + 2 > 0, оскільки 2 ≤ х ≤ 3 за умовою).

ВС = у = х² – 4х + 1.

S∆ = 12 AB • BC = 12(x + 2)(x² – 4x + 1) = 12(x³ – 4x² + x + 2x² – 8x + 2) = 12(x³ – 2x² – 7x + 2).

Розглянемо функцію f(x) = 12(x³ – 2x² – 7x + 2) на [2; 3] і визначимо її найбільше значення на цьому проміжку.

f’(x) = 12(3x² – 4x – 7). f’(x) = 0 при 3x² – 4x – 7 = 0;

D = 16 + 84 = 100; x₁ = 4+106 = 73; x₂ = 4+106 = –1.

До проміжку [2; 3] входить тільки х = 73.

f(2) = 12(2³ – 2 • 2² – 7 • 2 + 2) = 12(8 – 8 – 14 + 2) = –6;

f(3) = 12(3³ – 2 • 3² – 7 • 3 + 2) = 12(27 – 18 – 21 + 2) = –5;

f(73) = 12((73)³ – 2 • (73)² – 7 • 73 + 2) = 12(14727 – 989 – 493 + 2) = 12(14727 – 29427 – 14727 + 54) = 12(1089 + 54) = 3249. maxf(x) = f(73) = 3249.

Таким чином, абсциса точки С дорівнює 73, ордината

у = (73)² – 4 • 73 + 1 = 499 + 1 = 499 – 283 + 1 = –269.

Відповідь: (73; –269).