§ 41: 41.26

41.26 Пункти A, B і C знаходяться у вершинах прямокутного

трикутника ABC (∠ACB = 90°), AC = 285 км, BC = 60 км. Пункти

A і C сполучає залізниця. У яку точку відрізка AC слід провести ґрунтову дорогу з пункту B, щоб час перебування в дорозі від пункту A до пункту B був найменшим, якщо відомо, що швидкість руху залізницею дорівнює 52 км/год, а ґрунтовою дорогою – 20 км/год?

Нехай D – шукана точка, CD = x км,

тоді BD² = CD² + BC² = x² + 602; BD = x2+ 3600.

Враховуючи, що AD = (285 – x) км, запишемо вираз для часу, потрібного для подолання шляху від пункту А до В: t = 285-x52 + x2+ 360020. Розглянемо функцію f(x) = 285-x52 + x2+ 360020 і знайдемо її найменше значення на проміжку [0; 285].

f’(x) = –152 + 2x20 • 2x2+ 3600 = -40x2+ 3600+ 104x2080x2+ 3600.

f’(0) = 0 при 104x – 40x2+ 3600 = 0;

10x2+ 3600 = 26x;

100 • (x² + 3600) = 676x²;

676x² – 100x² = 360000; 576x² = 360000;

24x = 600 (x > 0); x = 25.

f(0) = 28552 + 3 = 52552 + 3 = 82552;

f(285) = 285-28552 + 2852+ 360020 = 8482520 = 29120 = 14,6;

f(25) = 285-2552 + 625+360020 = 26052 + 422520 = 5 + 6520 = 5 + 3,25 = 8,25.

minf(x) = f(25) = 8,25.

^{[0; 285]}

Отже, найменше часу потрібно буде витрачати на шлях, якщо точку В розмістити на відстані 25 км від С.

Відповідь: 25 км від С.