§ 41: 41.28

41.28 Доведіть нерівність

Розглянемо функцію f(x) = x³ – 3х², де х ∈ [–2; 4]. Можна помітити, що f(–2) = (–2)³ – 3 • (–2)² = –8 – 12 = –20;

f(4) = 4³ – 3 • 4² = 64 – 48 = 16. Тоді нерівність можна записати так: f(–2) ≤ х³ – 3х² ≤ f(4).

f’(х) = 3х₂ – 6x = 3х(х – 2); f'(0) = 0; 3х(х – 2) = 0;

x₁ = 0, x₂ = 2 – критичні точки.

f(0) = 0³ – 3 • 0² = 0; f(2) = 2³ – 3 • 2² = 8 – 12 = –4. Оскільки

функція f є неперервною на відрізку [–2; 4], то її найбільше і

найменше значення знаходяться серед чисел х = 0 і х = 2.

Маємо: –20 ≤ f(0) ≤ 16 і –20 ≤ (f(2) ≤ 16.

Тоді на проміжку [–2; 4] –20 ≤ х³ – Зх² ≤ 16.