§ 41: 41.27

41.27 Завод A розміщено на відстані 50 км від прямолінійної ді–

лянки залізниці, яка прямує в місто B, і на відстані 130 км від міста B. Під яким кутом до залізниці слід провести шосе від заводу A, щоб доставка вантажів з A до B була найдешевшою, якщо вартість перевезення по шосе у 2 рази більша, ніж залізницею?

Нехай шосе AD утворює із залізницею кут α. З ∆АВС (∠С = 90°)

ВС = АВ2- АС2 = 1302- 502 = 130-50(130+50) = 80 •180 = 14400 = 120 (км).

З ∆ACD: AD = 50sinα; CD = 50tgα, тоді BD = 120 – 50cosαsinα.

Враховуючи, що вартість перевезень по шоссе вдвічі дорожча, ніж перевезення залізницею, розглянемо функцію

f(α) = 120 – 50cosαsinα + 2 • 50sinα на проміжку (0; 90°) і знайдемо її найменше значення на цому проміжку.

f’(α) = 50sin2α+50cos2α-100 cosαsin2α = 50-100 cosαsin2α

f’(α) = 0 при 50 – 100cosα = 0; cosα = 12; α = 60°.

f(60°) = 120 – 50 • 1232 + 10032 = 120 + 1503 = 120 + 503 ≈ 207;

f(90°) = 120 – 50 • 01 + 2 • 501 = 220; min f(x) = f(60°) ≈ 207

^{[0; 90}°^]

Отже, шуканий кут дорівнює 60°.

Відповідь: 60°.