§ 41: 41.29

41.29 Розв’яжіть рівняння

5-x + x-3 = x² – 8x + 18. Розглянемо дві функції:

f(x) = 5-x + x -3 i g(x) = x² – 8x + 18 на області визначення даної функції – відрізку [3; 5]. Оскільки функції f(x) і g(x) на цьoму відрізку неперервні, знайдемо їх найбільші і найменші значення на цьому відрізку.

f’(x) = -125-x + -12x-3 = -x-3+ 5-x25-x(x-3) = 5-x- x-325-x(x-3).

f’(x) = 0, якщо 5-x = x-3; 5 – х = х – 3; 2х = 8; х = 4.

f(4) = 5-4 + 4-3 = 1 + 1 = 2;

g’(x) = 2x – 8; g’(x) = 0 при 2x – 8 = 0; 2x = 8;

x = 4; g(4) = 4² – 8 • 4 + 18 = 2.

f(3) = 5-3 + 3-3 = 2; f(5) = 5-5 + 5-3 = 2;

g(3) = 3² – 8 • 3 + 18 = 3; g(5) = 5² – 8 • 5 + 18 = 3.

Отже, для всіх х з проміжку [3; 5] f(x) ≤ 2; g(x) ≥ 2.

Розв‘язком рівняння є х = 4.

Відповідь: х = 4.