§ 41: 41.23

41.23 На колі радіуса R позначили точку A. На якій відстані від

точки A треба провести хорду BC, паралельну дотичній у точці A,

щоб площа трикутника ABC була найбільшою?

Розглянемо коло радіуса R, на якому позначено

точку A, BC – хорда, паралельна дотичній у точці А.

Тоді хорда BC перпендикулярна до діаметра AD,

і AD – висота рівнобедреного трикутника

ABC (AB = AC).

Нехай OD = х, тоді з ∆ВOD:

BD = BO2- OD2 = R2- x2.

S∆_ABC = AD • BD = (R + x)R2- x2.

Розглянемо функцію S(x) = (R + x)R2- x2 на проміжку (0; 2R) і знайдемо її найбільше значення на цьому проміжку.

S'(x) = R2- x2 – (R + x) • 2x2R2- x2 = R2- x2- Rx- x2R2- x2 = R2- Rx- 2x2R2- x2.

Знайдемо критичні точки: S’(x) = 0 при R² – Rx – 2x² = 0;

2x² + Rx – R² = 0; D = R² + 8R² = 9R²; x = -R+3R4 = 12R (x > 0).

Оскільки критична точка одна, а при х → 0 і х → 2R, S(x) → 0, ця точка і є точкою максимуму. Тоді шукана відстань дорівнює R + 12R = 1,5 R.

Відповідь: 1,5R.