§ 41: 41.12

41.12 Подайте число 18 у вигляді суми трьох таких невід’ємних

чисел, щоб два з них відносились як 8 : 3, а сума кубів цих трьох чисел була найменшою.

Позначимо за х коефіцієнт пропорційності, тоді перше число дорівнює 8х, друге – 3х, а третє – (18 – 11х). Розглянемо функцію f(x) = (8x)³ + (3х)³ + (18 – 11x)³. Вона визначена на проміжку [0; 18]. Знайдемо найменше значення функції f(x) на цьому проміжку.

f’(x) = 3 • (8х)² • 8 + 3 • (Зх)² • 3 + 3(18 – 11x)² • (–11) = 1536х² + 81х² – 33(324 – 396х + 121х²) = –2376х² + 13068x – 10692.

f’(x) = 0; 2376х² – 13068х + 10692 = 0; 2х² – 11x + 9 = 0; x₁ = 1;

х₂ = 4,5;

f(0) = 0 + 0 + 18³ = 5832; f(1) = 8³ + 3³ + (18 – 11)³ = 512 + 27 + 343 – 882.

Числа 18 і 4,5 не задовольняють умову задачі, бо при х = 18 і х = 4,5 третє число від’ємне. Отже, х = 1, тоді перше число дорівнює 8, друге – 3, а третє – 18 – 11 • 1 = 7.

Відповідь: 18 = 8 + 3 + 7.