§ 41: 41.10 (1)

41.10 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на

вказаному відрізку:

1) f(x) = 2cosx – sin2x;

f’(x) = –2sinx – 2cos2x = –2(cos(x + π2) + cos2x) = –4cos6x+ π4 cos2x- π4.

f’(x) = 0;

cos6x+ π4 = 0, 6x+ π4 = π2 + πn, 6x + π = 2π + 4πn,

cos2x- π4 = 0; 2x- π4 = π2 + πn, n ∈ Z; 2x – π = 2π + 4πn, n ∈ Z;

6x = π + 4πn, x = π6 + 2πn3,

2x = 3π + 4πn, n ∈ Z; x = 3π2 + 2πn, n ∈ Z;

З усіх критичних точок до проміжку [–π2; π2] входять π6 і 3π2 = –π2.

f(–π2) = 2cos(–π2) – sin(–2π2) = 0 – 0 = 0;

f(π2) = 2cos π2 – sin2π2 = 0 – 0 = 0;

f(π6) = 2cosπ6 – sin2π6 = 2 • 32 – 32 = 32;

maxf(x) = f(π6) = 32; minf(x) = f(–π2) = f(π2) = 0.

_[–π2_; π2_{] [–}π_; π2_]

2) f(x) = 23cosx + 2sinx; f’(x) = –23sinx + 2cosx.

f’(x) = 0; –23sinx + 2cosx = 0; cosx = 3sinx; tgx = 3;

x = π3 + πk, k ∈ Z. Точки такого виду є критичними, до проміжку

[–π2; π2] належать π3 і –π3.

f(–π2) = 23cos(–π2) + 2sin(–π2) = 0 – 2 = –2;

f(π2) = 23cosπ2 + 2sinπ2 = 0 + 2 = 2;

f(π3) = 23cosπ3 + 2sinπ3 = 3 + 3 = 23;

f(–π3) = 23 • 12 – 2 • 32 = 0.