§ 41: 41.8

41.8 Подайте число 12 у вигляді суми двох невід’ємних чисел так,

щоб добуток квадрата одного із цих чисел і подвоєного другого

числа був найбільшим.

Нехай перше число дорівнює х , тоді друге дорівнює 12 – х. З умови випливає, що 0 ≤ х ≤ 12. Розглянемо функцію f(х) = 2х²(12 – х), визначену на відрізку [0; 12], і знайдемо, при якому значенні х вона набуває найбільшого значення.

f(x) = 24x² – 2x³; f’(x) = 48x – 6х² = 6x (8 – x).

f’(x) = 0, якщо x = 0 або x = 8.

Обидва знайдені числа належать проміжку [0; 12].

f(0) = 2 • 0 • (12 – 0) = 0; f(12) = 2 • 12² • (12 – 12) = 0;

f(8) = 2 • 8² • (12 – 8) = 2 • 64 • 4 = 512.

mахf(х) = f(8) = 512. Отже, перше число 8, тоді друге число – 4.

^{[0; 8]}

Відповідь: 12 = 8 + 4.