§ 41: 41.6 (1)

41.6 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вка–

заному відрізку:

1) f(x) = 3sinx + cosx; f’(x) = 3cosx – sinx. f’(x) = 0, якщо

3cosx – sinx = 0; sin x = 3cosx; tgx = 3; x = π3 + πk, k ∈ Z. Точки такого виду є критичними, в проміжку [0; π] є одна така точка: х = π3.

f(π3) = 3sinπ3 + cosπ3 = 3 • 32 + 12 = 32 + 12 = 2;

f(0) = 3sin0 + cosx = 0 + 1 = 1;

f(π) = 3sinπ + cosπ = 0 – 1 = –1;

maxf(x) = f(π3) = 2; minf(x) = f(π) = 1.

_[0; π_{] [0;} π_]

2) f(x) = 2cos(4x + π6); f’(x) = –2sin(4x + π6) • 4 = –8sin(4x + π6) • f’(x) = 0, якщо sin(4x + π6) = 0; 4x + π6 = πk, k ∈ Z; 4x = –π6 = πk,

k ∈ Z; x = –π24 + πk4, k ∈ Z.

Точки такого виду є критичними, з них проміжку [–π12; π3] належать:

х = –π24 і х = 5π24.

f(–π12) = 2cos(–4π12 + π6) = 2cos(–π6) = 2;

f(π3) = 2cos(4π3 + π6) = 2cos3π2 = 0;

f(–π24) = 2cos(–4π24 + π6) = 2cos0 = 2;

f(5π4) = 2cos(4 •5π24 + π6) = 2cos(5π6 + π6) = 2cosπ = –2;

maxf(x) = f(–π24) = 2; minf(x) = f(5π4) = –2.

_[–π12_; π3_{] [–}π12_; π3_]