§ 41: 41.7

41.7 Подайте число 8 у вигляді суми двох таких невід’ємних чисел, щоб добуток одного із цих чисел і куба другого числа був

найбільшим.

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 8 – х. З умови випливає, що 0 ≤ х ≤ 8. Розглянемо функцію f(x) = x³ • (8 – х), визначену на відрізку [0; 8], і знайдемо, при якому значенні х вона набуває найбільшого значення.

f(x) = 8x³ – х⁴; f’(x) = 24х² – 4х³ = 4х²(6 – х).

f’(x) = 0, якщо х = 0 або х = 6.

Обидва знайдені числа належать проміжку [0; 8].

f(0) = 0 • (8 – 0) = 0; f(8) = 8³ • (8 – 8) = 0;

f(6) = 6³ • (8 – 6) = 432;

maxf(x) = f(6) = 432. Отже, перше число 6, тоді друге – 2.

^{[0; 8]}

Відповідь: 8 = 6 + 2.