§ 41: 41.5 (1)

41.5 Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вка–

заному відрізку:

1) f(x) = sinx – cosx; f’(x) = cosx + sinx. f’(x) = 0; cosx + sinx =0;

sinx = –cosx; tgx = –1; x = –π4 + πk, k ∈ Z. Отже, точки виду x = –π4 + πk, k ∈ Z є критичними. З них проміжку [0; π] належить одна: х = 3π4.

f(0) = sin0 – cos0 = 0 – 1 = –1; f(π) = sinπ – cosπ = 0 – (–1) = 1;

f(3π4) = sin3π4 – cos3π4 = 22 – (–22) = 2; maxf(x) = f(3π4) = 2;

min f(x) = f(0) = –1. _[0; π_]

[0; π]

2) f(x) = x3 – cos2x; f’(x) = 3 + 2sin2x.

f’(x) = 0; 2sin2x = 3; sin2x = 32; 2x = (–1)^k π3 + πk, k ∈ Z;

x = (–1)^k π6 + πk2, k ∈ Z. Точки такого виду є критичними. З них до відрізка [–π2; π2] входять точки π6 і –π6.

f(–π2) = –π32 – cos(–2 • π2) = –π32 + 1 = -π3+ 22;

f(π2) = π32 – cosπ = π32 + 1 = π3+ 22; f(π6) = π32 – cos2π6 = π3- 36;

f(–π6) = -π32 – 12 = -π3+ 22;

max f(x) = f(π2) = π3+ 22; min f(x) = f(–π2) = 2-π32.

_[–π2_; π2_{] [–}π2_; π2_]