§ 41: 41.11

41.11 Розбийте число 180 на три таких невід’ємних доданки, щоб

два з них відносились як 1 : 2, а добуток усіх трьох доданків був найбільшим.

Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 2х, а третє – (180 – Зх).

Розгляньмо функцію f(х) = х • 2х • (180 – Зх), яка визначена на відрізку [0; 180], і знайдемо її найбільше значення на цьому відрізку.

f(x) = 2х²(180 – Зх); f(x) = 360х² – 6х³;

f’(x) = 720х – 18х² = 18х(40 – х);

f’(x) = 0 при х = 0 і х = 40. Обидві точки входять до проміжку

[0; 180].

f(0) = 0; f(180) = 2 • 180² • (180 – 3 • 180) < 0; f(40) = 2 • 40² • (180 – 3 • 40) = 3200 • 60 = 192 000; maхf(х) = f(4) = 192 000.

^{[0; 180]}

Отже, перше число дорівнює 40, друге – 80, а третє – 60.

Відповідь: 180 = 40 + 80 + 60.