§ 38: 38.23

38.23 При яких значеннях b і c парабола y = x² + bx + c дотикається до прямої y = 4x + 1 у точці з абсцисою x₀ = 1?

Складемо рівняння дотичної до параболи в довільній точці з абсцисою х₀.

f’(x) = 2x + b; f’(x₀) = 2x₀ + b; f(x₀) = x02 + bx₀ + c.

y = (2x₀ + b)(x – x₀) + x₀ + bx₀ + c;

y = (2x₀ + b)x – 2x02 – bx₀ + x₀ + bx₀ + c; y = (2x₀ + b)x + (c + x₀ – 2x02).

При x₀ = 1 y = (2 + b)x + (c – 1). За умовою пряма у = 4х + 1 є дотичною до параболи в т. х₀. Тоді 2 + b = 4, b = 2 і c – 1 = 1, c = 2.

Відповідь: b – c = 2.