Відповіді до вправ підручника: 7.47

7.47. Навколо прямокутника описали коло та на кожній його стороні як на діаметрі побудували півколо (рис. 7.15). Доведіть, що сума площ зафарбованих фігур (серпиків Гіппократа) дорівнює площі прямокутника.

АВСD — прямокутник. Нехай АВ = a; ВС = b; ВD — діаметр круга.

R = $\frac{\mathrm{BD}}{2}$ = $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$;

S_кр. = πR² = $\frac{\pi (a^2+b^2)}{2}$.

S(півкруга з діаметром АВ) + S(півкруга з діаметром ВD),

АВ = DС; радіус $\frac{\mathrm{AB}}{2}$ = $\frac{a}{2}$;

S_кр. = $\frac{\pi a^2}{4}$ • 2 = $\frac{{\pi a}^2}{2}$. Площа круга з діаметром ВС = b:

R = $\frac{\mathrm{BC}}{2}$ = $\frac{b}{2}$; S_кр. = 2 • $\frac{{\pi b}^2}{4}$ = $\frac{{\pi b}^2}{2}$; S_пр.ABCD = ab;

S_{серпеків} = $\frac{{\pi a}^2}{2}$ + $\frac{{\pi b}^2}{2}$ + ab – $\frac{{\pi (a}^2+b^2)}{2}$ = ab, що й треба було довести.