Відповіді до вправ підручника: 2.53

2.53. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠ABC = 120°. На

продовженні відрізка AB за точку B позначено точку D так, що

BD = 2AB. Доведіть, що трикутник ACD рівнобедрений.

Дано: ∆АВС; АВ = ВС; ВD = 2АВ.

Довести: ∆АСВ — рівнобедрений.

Нехай АВ = ВС = х, ВD = 2х.

∆АВС: АС² = х² + х² – 2x² • (–$\frac{1}{2}$) = x² + x² + х² = Зх²; АС = х$\sqrt{3}$ (за теоремою косинусів).

∆ВDС: DС² = ВD² + ВС² – 2ВD • ВС • соs 60°;

DС² = 4x² + x² – 2 • 2х • х • $\frac{1}{2}$ = 5х² – 2х² = Зх²; DС = х$\sqrt{3}$.

АС = DС = 2$\sqrt{3}$. ∆АDС— рівнобедрений, АС = DС.