Відповіді до вправ підручника: 2.48

2.48. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. Знайдіть

бісектрису трикутника, проведену з вершини його найбільшого

кута.

∆ABC: ∠B – найбільший кут. АС² = AB² + ВС² – 2АВ • ВС • cos β;

18² = 12² + 15² – 2 • 12 • 15 • cos β; 324 = 144 + 225 – 360 cos β;

360 cos β = 45; cos β = $\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$.

ВМ — бісектриса кута В. За властивістю бісектриси: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MC}}$.

Нехай AM = х, тоді МС = 18 – х; $\frac{12}{x}$ = $\frac{15}{18-x}$; 12(18 – х) = 15х;

216 – 12х = 15х; 27х = 216; х = 8. Отже, AM = 8 см; МС = 10 см.

∆АВМ: За теоремою косинусів: Нехай AM = у, ∠ABM = ∠CBM = α.

AM² = АВ² + ВМ² – 2АВ • ВМ • cos α;

64 – у² + 144 – 2 • у • 12 • cos α;

64 – у² – 144 = 24у cos α; у соs α = $\frac{64-y^2-144}{24}$.

∆ВМС: МС² = ВМ² + ВС² – 2ВМ • ВС • cos α;

100 = у² + 225 – 2 • у • 15 х cos α;

y cos α = $\frac{100-y^2-225}{30}$.

$\frac{64-y^2-144}{24}$ = $\frac{100-y^2-225}{30}$; $\frac{-80-y^2}{4}$ = $\frac{{-y}^2-125}{5}$;

–400 – 5y² = –4y² – 500; у² = 100; у = 10. ВМ = 10 см.

Відповідь: 10 см.