Відповіді до вправ підручника: 2.49

2.49. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а бічна

сторона — 20 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при його основі.

∆АВС — рівнобедрений; АС = 5 см; АВ = ВС = 20 см;

АК – бісектриса кута при основі.

Нехай ∠ВАК = ∠KAC = α. За властивістю бісектриси: $\frac{\mathrm{АВ}}{\mathrm{ВК}}$ = $\frac{\mathrm{АС}}{\mathrm{КВ}}$.

Нехай ВК = у, тоді КС = 20 – у.

$\frac{20}{у}$ = $\frac{5}{20-у}$; 400 – 20у = 5у; 24у = 400; у = 16.

BК = 16 см; КС = 4 см. Нехай АK = х.

∆АКВ: ВК² = АВ² + AK² – 2АВ • AK • cos α;

256 = 400 + х² – 2 • 20 • х • cos α;

x cos α = $\frac{400+x^2-256}{40}$ = $\frac{144+x^2}{40}$.

∆AKC: KC² = AK² + AC² – 2АK • AC • cos α;

16 = x² + 25 – 2 • x • 5 • cos α; x cos α = $\frac{x^2+25-16}{10}$ = $\frac{x^2+9}{10}$.

$\frac{144+x^2}{40}$ = $\frac{x^2+9}{10}$; 144 + x² = 4x² + 36; 3x² = 108; x² = 36; x = 6.

Відповідь: 6 см.