Відповіді до вправ підручника: 21.59

21.59. Знайдіть косинус кута між векторами.

$\bar{a}$ • $\bar{b}$ = (3$\bar{m}$ + $\bar{n}$)($\bar{m}$ – 2$\bar{n}$) = З$\bar{m}$² – 6$\bar{m}\bar{n}$ + $\bar{m}\bar{n}$ – 2$\bar{n}$² = 3|$\bar{m}$²| – 5|$\bar{m}$| • |$\bar{n}$| • cos∠($\bar{m}$; $\bar{n}$) – 2|$\bar{n}$²| = 3 • 1 – 5 • 1 • 1 • cos 90° – 2 • |1| = 1.

|$\overline{\stackrel{̅}{a}}$| = l3$\bar{m}$ + $\bar{n}$|.

|3$\bar{m}$ + $\bar{n}$|² = (З$\bar{m}$ + $\bar{n}$)² = 9$\bar{m}$² + 6$\bar{m}$ • $\bar{n}$ + $\bar{n}$² = 9|$\bar{m}$|² + 6|$\bar{m}$| • |$\bar{n}$| • cos∠($\bar{m}$; $\bar{n}$) + |$\bar{n}$|² = 9 + 0 + 1 = 10.

|З$\bar{m}$ + $\bar{n}$| = $\sqrt{10}$.

|$\bar{b}$| = |$\bar{m}$ – 2$n$|.

|$m$ – 2$\bar{n}$|² = ($\bar{m}$ – 2$\bar{n}$)² = $\bar{m}$² – 4$\bar{m}$ • $\bar{n}$ + 4$\bar{n}$² = |$\bar{m}$|² – 4|$\bar{m}$| • |$\bar{n}$| • cos ∠($m$; $\bar{n}$) + 4|$\bar{n}$|² = 5; |$\bar{b}$| = $\sqrt{5}$.

α — кут між векторами $\bar{a}$ і $\bar{b}$.

cos α = $\frac{\bar{a}•\bar{b}}{\left|\bar{a}\right|•\left|\bar{b}\right|}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Відповідь: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.