Відповіді до вправ підручника: 21.11

21.11. Знайдіть бісектрису трикутника, яка ділить його сторону на відрізки завдовжки 3 см і 4 см та утворює із цією стороною кут, що дорівнює 60°.

∆ABC: ВМ — бісектриса, ВМ = х.

∆АВМ. За теоремою косинусів:

АВ² = ВМ² + AM² – 2AN • ВМ = х² + 9 – 2 • З • х • $\frac{1}{2}$ = х² + 9 – Зх.

∆МВС: ВС² = x² + 16 – 2 • 4 • x • (–$\frac{1}{2}$) = х² + 16 + 4х.

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MC}}$; $\frac{{\mathrm{AB}}^2}{{\mathrm{BC}}^2}$ = $\frac{{\mathrm{AM}}^2}{{\mathrm{MC}}^2}$; $\frac{x^2-3x+9}{x^2+4x+16}$ = $\frac{9}{16}$;

16x² – 48x + 144 = 9x² + 36x + 144;

7x² – 84x = 0; x(7x – 84) = 0; x₁ = 0; x₂ = 12.

Відповідь: ВМ = 12 см.