§ 3: 3.25

3.25. У трикутнику ABC відомо, що AC = b, ∠A = α, ∠C = γ. Знайдіть

бісектрису BD трикутника.

За теоремою синусів: ABsinγ = BCsinα; ABAD = BCDC за властивістю бісектриси трикутника.

AD = x; DC = b – x. ABx = BCb-x;

AB • (b – x) = BC • x; AB • sin α = BC • sin γ;

b-xsinα = xsinγ; b • sin γ – x • sin γ = x • sin α; x(sinγ + sinα) = b • sin γ;

x = b •sinγsinα+sinγ = b •sinγ2sinα+ γ2 cosα- γ2;

∠B = 180° – (α + γ).

∆ABC. ABsinγ = ACsin⁡(α+ γ); AB = b •sinγsin⁡(α+ γ).

∆ABD. BDsinα = ADsinα+ γ2;

BD = AD •sinαsinα+ γ2 = b •sinγ •sinα2sinα+ γ2 •sinα+ γ2 •cosα- γ2;

BD = b •sinα •sinγsinα+ γ•cosα- γ2.