§ 21: 21.9

21.9. Коло, вписане в трикутник ABC, дотикається до сторони AB

у точці D, BD = 1 см, AD = 5 см, ∠ABC = 120°. Знайдіть відрізок CD.

Нехай коло, вписане в ∆АВС, дотикається до сторони АВ в точці D. ВD = 1 см; АD = 5 см; ∠ABC = 120°.

М — точка дотику кола до сторони ВС;

N — точка дотику кола до сторони АС.

За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, маємо:

AD = AN = 5 см; ВD = ВМ = 1 см; МС = NC = х см.

∆АВС. За теоремою косинусів: АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos ∠B.

АС = х + 5; ВС = x + 1; АВ = 6.

(x + 5)² = 6² + (x + 1)² + 2 • 6(x + 1) • 12;

х² + 10х + 25 – 36 + х² + 2х + 1 + 6х + 6; 2х = 18; х = 9.

ВС = 10 см; АС = 14 см.

∆DBC. За теоремою косинусів:

DC² = DB² + ВС² – 2ВD • ВС • cos 120°;

DC² = 1 + 100 + 2 • 10 • 1 • 12; DC² = 11; DC = 111.

Відповідь: 111.