§ 2: 2.39

2.39. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а бічна

сторона — 20 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при його основі.

∆АВС — рівнобедрений; АС = 5 см; АВ = ВС = 20 см; АК – бісектриса кута при основі.

Нехай ∠ВАК = ∠KAC = α. За властивістю бісектриси: АВВК = АСКВ.

Нехай ВК = у, тоді КС = 20 – у. 20у = 520-у; 400 – 20у = 5у; 24у =

= 400; у = 16. BК = 16 см; КС = 4 см.

Нехай АK = х.

∆АКВ: ВК² = АВ² + AK² – 2АВ • AK • cos α; 256 = 400 + х² – 2 • 20 •

• х • cos α;

x cos α = 400+ x2- 25640 = 144+ x240.

∆AKC: KC² = AK² + AC² – 2АK • AC • cos α; 16 = x² + 25 – 2 • x • 5 •

• cos α; x cos α = x2+ 25-1610 = x2+ 910.

144+ x240 = x2+ 910; 144 + x² = 4x² + 36; 3x²= 108; x² = 36; x = 6.

Відповідь: 6 см.