§ 2: 2.38

2.38. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. Знайдіть

бісектрису трикутника, проведену з вершини його найбільшого

кута.

∆ABC: ∠B – найбільший кут. АС² = AB² + ВС² – 2АВ • ВС • cos β;

18² = 12² + 15² – 2 • 12 • 15 • cos β; 324 = 144 + 225 – 360 cos β;

360 cos β = 45; cos β = 45360 = 18.

ВМ — бісектриса кута В. За властивістю бісектриси: ABAM = BCMC. Нехай

AM = х, тоді МС = 18 – х; 12x = 1518-x; 12(18 – х) = 15х; 216 – 12х =

= 15х; 27х = 216; х = 8. Отже, AM = 8 см; МС = 10 см.

∆АВМ: За теоремою косинусів: Нехай AM = у, ∠ABM = ∠CBM = α.

AM² = АВ² + ВМ² – 2АВ • ВМ • cos α; 64 – у² + 144 – 2 • у • 12 •

• cos α; 64 – у² – 144 = 24у cos α; у соs α = 64- y2- 14424.

∆ВМС: МС² = ВМ² + ВС² – 2ВМ • ВС • cos α; 100 = у² + 225 – 2 • у •

• 15 х cos α;

y cos α = 100- y2- 22530.

64- y2- 14424 = 100- y2- 22530; -80- y24 = -y2- 1255; –400 – 5y² =

= –4y² – 500; у² = 100; у = 10. ВМ = 10 см.

Відповідь: 10 см.