Домашні самостійні роботи: №3 (11)

11. Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 16 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо її відношення до радіуса описаного кола дорівнює $\sqrt{3}$ : 1.

У ∆АВС АВ = 6 см, АС = 16 см. За умовою

BC : R = $\sqrt{3}$ : 1. Звідси ВС = R$\sqrt{3}$ (см).

За узагальненою теоремою синусів

$\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}$ = 2R, $\frac{R\sqrt{3}}{\sin A}$ = 2R, тоді sin А = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,

∠A = 60° або ∠A = 180° – 60° = 120°.

Можливі два випадки.

1) За теоремою косинусів ВС² = АВ² + АС² – 2АВ • АС • cos А = 6² + 16² – 2 • 6 • 16 • $\frac{1}{2}$ = 36 + 256 – 96 = 196; ВС = $\sqrt{196}$ = 14 (см).

2) ВС² = АВ² + АС² – 2АВ • АС • cos 120° = 6² + 16² + 2 • 16 • 12 • $\frac{1}{2}$ = 36 + 256 + 96 = 388 = 4 • 97; ВС = $\sqrt{4•97}$ = 2$\sqrt{97}$ см.

Відповідь: В. 14 см або 2$\sqrt{97}$ см.