Домашні самостійні роботи: №3 (12)

12. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 9 см, а медіана, що проведена до третьої сторони, – 4 см. Знайдіть менший з відрізків, на які бісектриса трикутника ділить цю сторону.

У ∆АВС АВ = 7 см, АС = 9 см, AM = 4 см — медіана, AL — бісектриса. Відкладемо МС = AM на продовженні AM. ABDC — паралелограм (AM = MD за побудовою, ВМ = МС за умовою).

У ∆ADC DC = АВ = 7 см, AD = 2AM = 8 см.

cos A = $\frac{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{DC}}^2-{\mathrm{AD}}^2}{2\mathrm{AC}•\mathrm{DC}}$ = $\frac{9^2+7^2-8^2}{2•9•6}$ = $\frac{81+49-64}{126}$ = $\frac{11}{21}$.

∠A = 180° – ∠C, тоді cos A = –cos C = –$\frac{11}{21}$.

З ∆ABC BC= $\sqrt{{\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{AC}}^2-2\mathrm{AB}•\mathrm{ACcosA}}$= $\sqrt{7^2+9^2-2•7•9•\frac{11}{21}}$ = $\sqrt{49+81+66}$ = $\sqrt{196}$ ;

BC = $\sqrt{196}$ = 14 (см).

За властивістю бісектриси трикутника $\frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{LC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{7}{9}$.

Тоді BL = 7х, LC = 9x.

7х + 9x = 14; 16x = 14; x = 0,875; BL = 4 • 0,875 = 6,125 (см).

Відповідь: А. 6,125 см.