Вправи для повторення розділу 4: 32

32. За даною хордою знайдіть довжину її дуги, градусна міра якої: 1) 30°; 2) 150°.

Хорда АВ = а; ОА = OB = R.

1) $\angle$AOB = 30°. З ∆АОВ за теоремою косинусів

АВ² = АО² + ВО² – 2АО • BO cos 30°;

a² = R² + R² – 2R² cos 30°;

a² : 2R² – R²$\sqrt{3}$, а² = R²(2 – $\sqrt{3}$); R = $\frac{a}{2-\sqrt{3}}$.

$l_{30}$ = $\frac{\pi a}{\sqrt{2-\sqrt{3}}•180}$ • 30 = $\frac{\pi a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{6\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)•\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}$ = $\frac{\pi a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{6}$ (см).

Відповідь: $\frac{\pi a\sqrt{2+\sqrt{3}}}{6}$.

2) a² = 2R² – 2R² cos 150°; a² = 2R² + R²$\sqrt{3}$; a² = R²(2 + $\sqrt{3}$);

R = $\frac{a}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$. $l_{150}$ = $\frac{\pi a•150}{180•\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ = $\frac{5\pi a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{6\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)•\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}$ = $\frac{5\pi a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{6}$.

Відповідь: $\frac{5\pi a\sqrt{2-\sqrt{3}}}{6}$.