Вправи для повторення розділу 4: 34

34. Навколо кола радіуса r описано трикутник, кути якого відносяться як 1 : 2 : 3. Знайдіть довжини дуг, кінцями яких є точки дотику.

У ∆АВС $\angle$В : $\angle$А : $\angle$С = 1 : 2 : 3.

Тоді $\angle$В = х, $\angle$А = 2х, $\angle$С = Зх.

х + 2х + Зх = 180; 6х = 180; х = 30.

Отже, $\angle$В = 30°, $\angle$А = 60°, $\angle$С = 90°.

О — центр вписаного кола; М, Р, N —

точки дотику. ОМ $\perp$ АС, ОР $\perp$ АВ, ОN $\perp$ ВС — як радіуси кола, проведені в точки дотику. Оскільки сума кутів чотирикутника 360°, то $\angle$МОN = 90°, $\angle$МОР = 360° – (90° + 90° + 60°) = 120°,

$\angle$РОN = 360° – (90° + 90° + 30°) = 150°. Отже,

$\cup$MN = $\frac{\pi r}{180}$ • 90 = $\frac{\pi r}{2}$; $\cup$PN = $\frac{\pi r}{180}$ • 150 = $\frac{5\pi r}{6}$;

$\cup$MP = $\frac{\pi r}{180}$ • 120 = $\frac{2\pi r}{3}$.

Відповідь: $\frac{\pi r}{2}$; $\frac{5\pi r}{6}$; $\frac{2\pi r}{3}$.